Na física as grandezas são representadas por escalares e vetores. Uma grandeza escalar não necessita de descrição vetorial. Assim é representada apenas por sua magnitude. Exemplo de grandeza escalar é a massa de um corpo ou mesmo a sua energia.
Os vetores são as quantidades que necessitam de serem representadas por uma magnitude, direção e sentido. Um exemplo de grandeza vetorial é a força. A força quando aplicadas em um corpo é aplicada com determinada magnitude, em certa direção e sentido. Nas definições dos vetores, além da magnitude, direção e sentido, necessita também que obedeça a regras de soma vetorial e também de multiplicação de escalar por vetor.
No entanto, grandezas que envolvem rotação não se adequam corretamente ao formalismo vetorial, uma vez que não obedecem as regras de soma vetorial. A figura abaixo mostra somas finitas de rotações de um objeto. Verifica se que a troca na ordem da soma modifica o resultado final, ou seja, rotações finitas não comutam. R1+R2 <> R2+R1. Isto ocorre porque a rotação é descrita por uma matriz e matrizes não necessariamente comutam.
Grandezas angulares ficam mais bem representadas por fragmentos de planos orientados como é o caso da grandeza torque e momento angular. A magnitude destas grandezas é dada pela área e não é tão bem representada por vetores. Esta nova entidade matemática é muitas vezes chamada de bivetor.
No espaço tridimensional os vetores podem ser uma boa representação de quantidades angulares. (entender)
Historicamente, a representação vetorial originou-se do estudo dos números complexos. Um número complexo é composto de uma parte real e de uma parte imaginária
z(x,y)= x + iy
Os números complexos também podem ser representados em coordenadas polares. Assim, um vetor r se locomove circularmente ao longo de uma circunferência de raio r.
z(r,o)=r.EXP(io)
Esta representação é bastante útil quando queremos executar rotações no ângulo teta.
Foi então pensado que os números complexos poderiam ter mais componentes como num espaço cartesiano, atribuiu-se mais uma componente complexa.
Os quatérnios são, essencialmente, generalizações dos números complexos para quatro dimensões.
Dimensões: O uso dos números complexos (i,j,k) pra definir a grandeza vetorial ou escalar de dimensões físicas
